摘要 冷原子體系的量子波動性、宏觀量子相干性和人工可調(diào)控性，使其成為了一個全新的量子體系，其新穎的量子態(tài)和奇異物性的研究是國際上具有前瞻性和挑戰(zhàn)性的前沿領(lǐng)域。自1995年實現(xiàn)稀薄氣體玻色—愛因斯坦凝聚以來，從單組分、簡單相互作用的研究逐漸過渡到多組分、復雜多體效應以及自旋—軌道耦合、非厄米、強關(guān)聯(lián)、無序效應等新物理的研究。文章介紹了近幾年冷原子方面的研究進展，包括冷原子的相關(guān)技術(shù)，冷原子在量子精密測量、量子模擬和量子計算方面的重要工作，期望給未來的研究以新啟迪。關(guān)鍵詞 冷原子，量子精密測量，量子模擬，量子計算

01引 言

在微觀物理學中，溫度是原子做無規(guī)則熱運動劇烈程度的度量標準：溫度越高，原子的運動速率越快，熱運動越劇烈；溫度越低，原子的運動速率越慢，熱運動越微弱。這種無規(guī)則熱運動是難以預測和操控的，往往會在實驗過程中引入誤差。可想而知，如果能夠盡量減弱原子熱運動的劇烈程度，也就是盡可能地降低溫度，就會使實驗得到極大優(yōu)化，這一研究領(lǐng)域統(tǒng)稱為冷原子物理。

冷原子具備以下兩個特征：第一，冷原子運動速率慢，相互之間碰撞少，使其易于操控的同時也降低了能譜的展寬，有助于提高測量精度；第二，冷原子的德布羅意波長很長，表現(xiàn)出明顯的量子特征，具有很強的相干性，可以產(chǎn)生宏觀量子效應，一個最重要的代表就是玻色—愛因斯坦凝聚態(tài)(BEC)，其中所有的玻色子都處于能量最低的基態(tài)?；谶@兩個優(yōu)異的特性，冷原子物理在量子精密測量、量子模擬、量子計算等諸多領(lǐng)域具有廣泛的應用?；谠痈缮娴母呔冉^對重力儀可以通過測量重力場的變化進行地震監(jiān)測和地下水探測，更準確的原子鐘為全球定位和通信系統(tǒng)提供了強有力的保障，使用冷原子制造的量子存儲器、量子芯片將是量子計算機的基本部件，高度可控、純凈的冷原子系統(tǒng)為Hubbard模型、Su—Schrieffer—Heeger(SSH)模型等量子體系的模擬提供了理想的實驗平臺。

02冷原子技術(shù)

1975年，H?nsch和Schawlow提出了激光冷卻的方法[1]，基本原理是利用光子與原子之間的散射降低原子的運動速率，從而達到冷卻的效果。當一個原子與相向運動的光子碰撞時，原子會將光子吸收并躍遷到激發(fā)態(tài)，由于動量守恒，原子將會以一個比之前慢的速率繼續(xù)向前運動，之后在某個時刻自發(fā)躍遷回基態(tài)，隨機向一個方向放出一個光子。如果大量重復這一過程，向各個方向放出的光子對原子的反沖作用會相互抵消，最終表現(xiàn)為原子沿原來的方向減速運動。

激光冷卻可以獲得極低的溫度，為人們研究冷原子物理打開了一扇大門。1982年，Phillips等人首次實現(xiàn)了中性鈉原子的激光冷卻[2]，將鈉原子的速度降低到原來的4%，相當于把溫度降低到70 mK。僅僅在三年后，朱棣文等人就將鈉原子進一步冷卻到240 μK[3]，達到了多普勒冷卻的極限。之后，偏振梯度激光冷卻、速度選擇相干粒子數(shù)囚禁冷卻等方法更是突破了多普勒冷卻極限。時至今日，人們已經(jīng)可以在實驗室中獲得pK級別的溫度，正逐漸向絕對零度逼近，并且實現(xiàn)了幾乎所有堿金屬原子以及部分堿土和稀土原子的冷卻。除了原子外，對分子[4]和離子的冷卻也逐步被實現(xiàn)。Langin等人通過對超冷中性原子氣體進行光電離得到了超冷中性等離子體[5]，溫度達到50 mK，打破了傳統(tǒng)的高溫等離子體的限制，使中性等離子體的研究深入到強耦合區(qū)域。甚至人們還對反物質(zhì)進行了激光冷卻的研究。2021年，Baker等人首次對一個反質(zhì)子和一個反電子組成的反氫原子進行了一維的激光冷卻[6]，觀察到了比未冷卻的反氫原子更窄的1s—2s躍遷光譜(圖1)，這一結(jié)果會促進正在進行的對反氫原子的光譜和引力的研究，并為未來的反物質(zhì)實驗開創(chuàng)了新方法。

圖1 冷卻后的反氫原子具有比未冷卻的反氫原子更窄的1s—2s躍遷光譜[6]

與激光冷卻同時發(fā)展起來的另一種方法是蒸發(fā)冷卻，具體過程是在原子團中速率分布達到平衡時，將其中速率較大的原子剔除，剩余的原子將在碰撞中達到新的平衡，這時原子的速率總體上會減小，能夠使溫度進一步降低，這對于BEC的獲得具有重要作用。此外，Gisbert等人在研究一維冷原子鏈時發(fā)現(xiàn)了一種由原子間交換光子導致的協(xié)同冷卻機制[7]，當鏈足夠長時能夠消減原子的自發(fā)輻射，使鏈更穩(wěn)定，分析還表明這種作用在二維情況下可能會更顯著。

原子無時無刻不在運動，為了防止原子到處亂跑，需要將它俘獲在勢阱中。利用反向激光束之間的干涉，在空間上可以形成穩(wěn)定的周期性光學勢阱陣列，被俘獲的原子在這些光學勢阱中有序排列，類似于晶體結(jié)構(gòu)，因此稱為光晶格。通過設(shè)計激光束的方向、波長和勢阱深度等參數(shù)可以得到各種晶格結(jié)構(gòu)，并控制原子在不同格點間的躍遷。2016年，Endres等人利用100個光鑷在不到400 ms的時間內(nèi)實現(xiàn)了將50多個原子逐個組裝成無缺陷的一維陣列[8]。李在勛(Lee Jae Hoon)等人設(shè)計的一種光學補償變焦透鏡[9]，可以產(chǎn)生一個光學偶極子阱用來輸運冷原子，具有精度高、勢阱深度恒定、移動距離遠、配置容易等優(yōu)點，可以對光晶格的組裝方法進行補充。三維光晶格的組裝比較困難，尤其是每層之間形狀存在差異或堆疊方式不同的三維晶格，如扭曲雙層石墨烯。因此郝磊(Hao Lei)提出了一種逐層組裝三維光晶格的方案[10]，首先用激光分束器獲得多層二維光晶格，再用兩個圓柱形薄透鏡組成的光束整形器壓縮z方向的激光束，使層與層之間的距離變小，就可以得到三維光晶格，并可以通過控制相位參數(shù)實現(xiàn)不同層之間的相對滑移，和通過旋轉(zhuǎn)x—y平面上的反射鏡實現(xiàn)不同層之間的相對扭轉(zhuǎn)，這一方案在復雜晶格結(jié)構(gòu)的研究中具有很好的應用前景。

通過對冷原子系綜折射或吸收的光圖像進行分析，就能夠提取出有關(guān)原子系綜的物理信息。常用的成像技術(shù)有吸收、熒光和相位對比，還有離共振離焦成像(ORDI)[11]。對于冷原子氣中的離子，Gross等人提出了一種利用離子—里德伯原子相互作用誘導的吸收進行成像的方法[12]，可以以時間分辨的方式成像離子的動力學演化過程。

03量子精密測量

量子精密測量是冷原子的重要應用之一，它的主要任務是不斷提高測量的精度。通常我們有兩種手段來提高測量精度，最直接的方法就是尋找最小刻度更小的“尺子”，例如最小刻度一米的尺子無法測量幾厘米的長度，但最小刻度是一厘米的尺子就可以測量幾厘米的長度；另一種方法是進行多次測量，利用統(tǒng)計規(guī)律來減小每次測量產(chǎn)生的誤差，數(shù)學上的中心極限定理告訴我們，對同一個量進行N次獨立重復的測量，得到的所有結(jié)果服從正態(tài)分布，每次測量的誤差為測量值的

，稱為散粒噪聲極限，是經(jīng)典測量方法在理論上所能達到的最高精度。

隨著量子技術(shù)的不斷發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)如果在測量中利用量子力學的獨特性質(zhì)，如相干性、糾纏性等，就可以打破經(jīng)典的散粒噪聲極限的限制，進一步提高測量的精度。如果讓N個探測粒子的量子態(tài)相互糾纏，外界對這N個粒子的作用就會相干疊加，最終得到的誤差為測量值的

，比經(jīng)典的散粒噪聲極限允許的精度提高了

倍，稱為海森伯極限。這是由海森伯不確定原理導致的測量誤差，來源于真空中的量子漲落，是無法被消除的，換言之，海森伯極限是量子測量方法在理論上所能達到的最高精度。

盡管理想的量子測量方法可以得到很高的精度，但將N個粒子糾纏起來是極其困難的，實際上難以實現(xiàn)。量子精密測量的研究任務就是要突破散粒噪聲極限，不斷逼近海森伯極限。由于冷原子的德布羅意波長很長，非常容易表現(xiàn)出量子性質(zhì)，因此適合用來作為量子精密測量的工具。下面將從三個方面介紹近年來在逼近海森伯極限過程中的進展。

3.1 使用壓縮態(tài)進行量子測量

海森伯不確定關(guān)系限制了我們在同時測量多個物理量時得到的整體精度，如果放寬對其中一個物理量的精度要求，就能使另一個物理量得到更高的精度，這種量子態(tài)稱為壓縮態(tài)。Hosten等人基于光學腔測量時鐘態(tài)銣原子的實驗對噪聲水平進行了計算[13]，在沒有糾纏的情況下，誤差可以表示為

N為原子數(shù)，通過對量子態(tài)在自旋自由度上進行“壓縮”，即產(chǎn)生了糾纏，如圖2所示，未壓縮時量子態(tài)在y和z方向的不確定度相同，壓縮后y方向的不確定度增大，而z方向的不確定度減小了，使用壓縮態(tài)再次進行測量得到z方向的測量誤差，通過計算可以得到

其中α是由原子云和激光束的形狀確定的參數(shù)，由于α 1，可知在有糾纏的情況下測量誤差比沒有糾纏的情況下減小了很多，意味著超出了經(jīng)典的散粒噪聲極限。

圖2 (a)未壓縮的自旋量子態(tài)在布洛赫球上的表示，斑點代表不確定度，未壓縮時在y和z方向的不確定度相同；(b)未壓縮的量子態(tài)在z方向的概率分布；(c)使用未壓縮態(tài)時的誤差期望值；(d)壓縮的自旋量子態(tài)在布洛赫球上的表示，y方向的不確定度增加，z方向的不確定度減小了；(e)藍色為未壓縮態(tài)的概率分布，紅色和黃色為(d)圖中兩個壓縮態(tài)的概率分布[13]

2020年，Szigeti等人基于對冷原子重力儀的研究，提出BEC中固有的原子間相互作用會使得測量的精度提高[14]。體系的哈密頓量為

其中g(shù)ij=4π?2aij/m，aij為s波散射長度，從哈密頓量出發(fā)可以得到BEC的演化算符為

，這個演化算符不僅會導致BEC的自相似擴張，還會使自旋態(tài)產(chǎn)生壓縮，量子態(tài)在演化過程中從未壓縮態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閴嚎s態(tài)。前面已經(jīng)說過，壓縮后量子態(tài)在某個方向上的不確定度會減小，假定為z方向，沿z方向進行測量就會得到更高的精度。

在沒有糾纏的情況下，重力儀的精度可以表示為

其中N是粒子總數(shù)，k0由重力場決定，T是兩次脈沖的間隔時間。通過利用BEC的演化算符計算演化后的量子態(tài)(具體的計算過程可以參考文獻[14]的補充材料)，得到重力儀的精度變?yōu)?/p>

其中Var代表方差，ξ是自旋壓縮參數(shù)，并且小于1，使得 g小于沒有糾纏的情況，因此這種相互作用會使得重力儀的精度提高，超出散粒噪聲極限的2—5倍，同時，由于這種相互作用是在BEC中自發(fā)產(chǎn)生，不需要添加額外的誘導勢和光學腔，在現(xiàn)有的實驗條件下是完全可以實現(xiàn)的。

3.2 與弱測量相結(jié)合

在量子力學中，測量過程實際上是使儀器與量子系統(tǒng)耦合的過程，測量的結(jié)果是將系統(tǒng)的量子態(tài)投影到某個本征態(tài)上的本征值，測量之后系統(tǒng)的波函數(shù)就坍縮到這個本征態(tài)上，使得系統(tǒng)的狀態(tài)回不到原來的狀態(tài)，也就不能進行重復測量，這是我們所熟知的強測量。1988年，Aharonov提出了弱測量的概念，使儀器與量子系統(tǒng)的耦合作用很弱，只從系統(tǒng)中提取出一點點信息而不破壞系統(tǒng)原來的量子態(tài)。常用的弱測量手段要首先準備幾種初態(tài)

，再使用弱耦合的哈密頓量使初態(tài)進行演化，最后將演化得到的量子態(tài)投影到后選擇的末態(tài)上

，就完成了一次弱測量，得到弱值

。由于耦合作用很弱，不破壞系統(tǒng)量子態(tài)的代價就是需要進行大量的重復測量來提取出很少的有用信息。

2018年，郭光燦領(lǐng)導的量子信息重點實驗室的李傳鋒、陳耕等人設(shè)計了一種新的量子弱測量方案[15]，利用不確定度較大的混態(tài)和后選擇的純態(tài)系統(tǒng)，并將測量探針與弱值的虛部結(jié)合起來

其中g(shù)是我們想要通過測量估計的參數(shù)，P和C分別是由探針和系統(tǒng)決定的算符。測量結(jié)果的精度 g P-1，在測量過程中探針P不需要是糾纏態(tài)，即便是服從經(jīng)典概率分布也能滿足上面的公式，使測量精度提高。他們將這一方法應用于單光子克爾非線性效應的具體測量，得到的測量精度 g與使用的光子數(shù)N之間的關(guān)系如圖3所示，可以看出它們之間呈線性關(guān)系，即

達到了海森伯極限。實驗中使用了大約十萬個光子，相較于經(jīng)典測量方法精度提高了兩個數(shù)量級。這是世界上首次在實際測量中達到海森伯極限，并且不需要使用糾纏就能實現(xiàn)。

圖3 測量精度與光子數(shù)的關(guān)系，圖中點是選取了一組特定參數(shù)得到的結(jié)果，藍線是對點的擬合，紫線是混態(tài)測量精度的邊界[15]

2021年，郭光燦領(lǐng)導的研究組首次實現(xiàn)了三個參數(shù)同時達到海森伯極限的測量[16]。作為量子力學中基本的對稱群，SU(2)群在量子陀螺儀、量子參考系同步、量子傳感器等方面有著具體應用。SU(2)群中任意一個算符都可以寫為Us=

，其中n=(sinθcos?，sinθsin?，cosθ)，σ為泡利矩陣，因此有三個參數(shù)α、θ、?，確定了這三個參數(shù)就唯一確定了一個對稱變換，即確定了外界條件是如何改變量子態(tài)的，從而可以得到外界條件如磁場的信息。通過計算可以得到每個參數(shù)估計值的方差為

其中n為測量次數(shù)，Hx=i( xUs)Us?為對應參數(shù)的生成元。他們設(shè)計了一套方案來同時達到三個參數(shù)測量的最高精度，首先制備出最大糾纏的探針態(tài)，然后用待測量的算符Us和控制算符Uc作用在系統(tǒng)上N次，最后分別將系統(tǒng)投影到所選擇的最佳本征態(tài)上進行測量。在實驗中他們選擇了

，得到的測量結(jié)果如圖4所示，可以看出三個參數(shù)同時達到了海森伯極限允許的最小誤差。

圖4 三個參數(shù)的測量誤差。圖中實線和虛線代表最小理論誤差，點表示實驗測量結(jié)果，可以看出實驗中三個參數(shù)同時達到了最小誤差。其中曲線①為經(jīng)典獨立測量，②為糾纏獨立測量，③為糾纏聯(lián)合測量，④為控制增強順序測量[16]

3.3 多參數(shù)測量的最優(yōu)方案

在實際測量時，往往需要同時對多個參數(shù)進行測量，根據(jù)海森伯不確定原理，如果兩個參數(shù)是不對易的，就無法同時對它們進行精確測量，之前提到的壓縮態(tài)就是舍棄其中一個參數(shù)的精度來換取另一個參數(shù)的更高精度。那么，如何同時兼顧多個參數(shù)來進行最佳的測量呢？

杭州電子科技大學的陸曉銘與浙江大學的王曉光將海森伯不確定原理與多參數(shù)估計結(jié)合起來，提出了一種尋找多參數(shù)測量最優(yōu)方案的方法[17]。如果定義第j個參數(shù)θj的誤差為

，

，其中F為經(jīng)典Fisher信息矩陣，

為量子Fisher信息矩陣，是經(jīng)典Fisher信息矩陣所能達到的最大值，R就是理論值與測量值的偏差，可以推導出第j個參數(shù)與第k個參數(shù)之間的誤差滿足制約關(guān)系

其中

是實數(shù)，

，Lj表示對參數(shù)θj求對數(shù)導數(shù)。對于一族純態(tài)組成的系統(tǒng)ρθ，制約關(guān)系取等號，即存在一種量子測量方案使等號成立，對于混態(tài)，通過變換cjk也可以取到等號。

例如對于一個復數(shù)α，它的實部和虛部分別為θ1、θ2，通過計算得到

，c12=1，制約關(guān)系變?yōu)棣?2+Δ22 1，用Fisher信息矩陣表示為F11+F22 4，或

。相應的曲線繪制在圖5中，曲線下方的區(qū)域是被不確定原理所禁止的，曲線上的點是同時測量這兩個參數(shù)所能達到的最佳精度，也就是說可以找到一種測量方案使制約關(guān)系取等號，曲線上方的點表明同時對這兩個參數(shù)的測量沒有達到最佳精度。

圖5 對復數(shù) α 的實部和虛部使用相干態(tài)進行參數(shù)估計的均方誤差，在曲線左下方的區(qū)域是被不確定原理所禁止的。黑色實線代表制約關(guān)系；紅色虛線代表基于右對數(shù)導數(shù)的幾何平均量子測量極限；藍色虛線代表基于右對數(shù)導數(shù)的算術(shù)平均量子測量極限；綠色點線代表基于對稱對數(shù)導數(shù)的調(diào)和平均量子測量極限[17]

04量子模擬

得益于原子控制技術(shù)的進步，冷原子成為量子模擬的一個理想化的平臺[18, 19]。我們選擇如下4個主題來展示冷原子的模擬能力。一是冷原子模擬自旋—軌道耦合(SOC)，也包括最近提出的質(zhì)心軌道角動量和自旋間的耦合，即自旋—軌道—角動量耦合(SOAMC)。二是近幾年凝聚態(tài)物理領(lǐng)域被廣泛研究的物相，如超固態(tài)和拓撲相，體系由包括了SOC，Hubbard項的哈密頓量描述，在這些相互作用的競爭下，物理體系可以表現(xiàn)出奇特的相變行為。三是冷原子模擬非厄米量子系統(tǒng)，著重分析其不同于厄米體系的行為。四是不同于之前在平坦黎曼流形上的分析，而是在雙曲流形上對BEC現(xiàn)象給予新的物理圖像。

當然，冷原子的模擬能力遠比這強大，許多有趣的物理系統(tǒng)并未包含在這些課題中，如模擬非線性系統(tǒng)[20]、耗散系統(tǒng)[21]等。

4.1 自旋—軌道耦合

自旋—軌道耦合(SOC)即原子內(nèi)部的超精細自旋通過雙光子拉曼過程與原子質(zhì)心動量耦合[22—24]，等價于受到SU(2)非阿貝爾規(guī)范勢的作用[25]，可以產(chǎn)生很多有趣的物理效應[26，27]。近來，原子質(zhì)心軌道角動量和超精細自旋耦合產(chǎn)生的新現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn)[28]，通過兩束Laguerre—Gaussian型激光，可以在旋量BEC中實現(xiàn)這種SOAMC[29，30]。

圖6 自旋為 1/2 的費米原子與拉曼激光作用 (a)兩束同向傳播的攜有不同軌道角動量(- l1? 和- l2? )的高斯型激光與原子作用誘導的 SOAMC；(b)能級躍遷示意圖；(c) Ω0—δ 平面內(nèi)二維 SOAMC 的費米超流的多體相圖，其他參數(shù)設(shè)置為l = 3，EB/EF = 0.5 。圖中包括超流態(tài)(SF)、正常態(tài)(N)、有能隙的渦旋態(tài)(V1)和無能隙的渦旋態(tài)(V2)[31]

考慮約束在x—y平面的二組分自旋1/2費米氣體，與兩束不同軌道角動量的拉曼激光耦合(圖6(a)，(b))。通過一個幺正變換，得到極坐標系下的單粒子有效哈密頓量[31]：

等式右側(cè)第二項展開式中-l?Lzσz/(Mr2)項即是原子的軌道角動量Lz與原子自旋的耦合項。l=(l1-l2)/2是兩束激光軌道角動量之差，δ是雙光子失諧項，

是Gusssian型的拉曼耦合。

考慮不同自旋組分間的s波接觸勢，得到多體哈密頓量為：H=H0+Hint。平均場處理后，得到Bogoliubov—deGennes(BdG)哈密頓量，自洽求解得到圖6(c)所示的相圖。由序參量Δ=|Δ|eikθ 決定體系的狀態(tài)，如拓撲荷k非零時，屬于有能隙的渦旋態(tài)(V1)或無能隙的渦旋態(tài)(V2)；k為零時屬于超流相(SF，有能隙)或正常相(N，無能隙)。同時發(fā)現(xiàn)，渦旋相的獨特行為：(1)渦旋中心的不同自旋組分的費米氣體密度失衡且|Δ|在渦旋中心值為0，與其他兩相有很大差異；(2)序參量|Δ|在相當長的距離內(nèi)(可與激光頻譜半高寬ω比擬，且遠大于kF-1)非零，預示著大半徑渦旋的產(chǎn)生。

當考慮具有柱對稱性的三維諧振子勢阱中自旋為1的BEC的SOAMC時，可以得到更豐富的渦旋態(tài)的形式，文獻[32]中稱之為自旋向列渦旋態(tài)，對應的相圖如圖7(a)所示。相Ⅴ和相Ⅳ在單體相圖的基礎(chǔ)上分別自發(fā)破缺了旋轉(zhuǎn)對稱性和手征對稱性，對應于二級相變。通常所說的渦旋態(tài)指的是(正規(guī)化的)自旋密度S構(gòu)成的渦旋(圖7(b))。在此文獻中，還發(fā)現(xiàn)新的由自旋向列

刻畫的渦旋態(tài)(圖7(b))。

圖7 (a)考慮自旋相關(guān)的 s 波相互作用的自旋為 1 的BEC多體相圖，其中實線表示一級相變，虛線表示二級相變，不同的相按照基態(tài)波函數(shù)區(qū)分；(b)相Ⅳ的經(jīng)典自旋S ={Sx, Sy, Sz}結(jié)構(gòu)(上圖)和自旋向列Q={Sx, 2Nyz, Dyz}結(jié)構(gòu)(下圖)。箭頭的顏色代表自旋密度S 或自旋向列Q 密度的z分量[32]

由此可見，利用高自旋的SOC或者SOAMC，可以發(fā)現(xiàn)許多其他新奇的物理相，這使其成為一種“技術(shù)手段”，與各種模型結(jié)合，得到更豐富的物理圖像，如超固體(SS)、超輻射[33]、拓撲物態(tài)等。

4.2 量子相

超固體既是具有非對角長程序的超流態(tài)，也是具有對角序的固態(tài)，概念最早在固體4He中被提出[34]。作為一種新奇的物態(tài)，其實現(xiàn)方法一直是理論和實驗追尋的目標。理論中預測可以實現(xiàn)超固態(tài)的方法有很多，例如在一維或二維旋量BEC系統(tǒng)中施加SOC[35，36]、偶極費米系統(tǒng)等。

文獻[35]中考慮二維有SOC和軟核長程相互作用的玻色氣體，在Gross—Pitaevskii平均場近似下的哈密頓量可以寫成：

其中VSO是SOC，有效軟核長程相互作用為

，Ci，j刻畫了不同自旋組分間的相互作用強度，Rc表示相互作用的作用范圍，可以通過Rydberg墜飾技術(shù)[37]來得到此作用。

通過虛時算法數(shù)值最小化哈密頓量得到多體基態(tài)，如圖8所示，參數(shù)固定時，渦旋環(huán)流方向相同，呈現(xiàn)周期性的渦旋排列，此即超固態(tài)。同時相互作用強度較弱的組分構(gòu)成渦旋的中心部分，被相互作用強的組分包圍。當交換相互作用強度比，渦旋環(huán)流方向改變，不同的組分交換分布方式，故而此超固態(tài)稱為手征超固態(tài)。當繼續(xù)改變相互作用強度比，還會出現(xiàn)其他超固態(tài)相，如平面波超固態(tài)、駐波超固態(tài)、自旋極化的超流相等。

圖8 由Rashba型SOC和長程軟核相互作用誘導的手征超固態(tài)。相同自旋氣體間的不同相互作用強度 C = 2C ((a)和(b))和 C = 2C ((c)和(d))時，密度|ψ|2和相位 ? 的分布圖。圖中相位分布由顏色變化表征，色輪中的箭頭指向為相位增大方向，密度分布由明暗變化表征。(a)，(c)為自旋向上氣體在實空間中的分布圖，(b)，(d) 為自旋向下氣體在實空間中的分布圖。其中， Rc 為相互作用范圍[35]

周期性光學勢阱中的冷原子可以只占據(jù)少量的低能布洛赫帶，且同一勢阱中的冷原子間相互作用很大，可以很好地模擬強關(guān)聯(lián)的晶格模型，如Hubbard模型[38，39]。同時Hubbard模型可以產(chǎn)生許多新奇的拓撲物態(tài)，使得Hubbard模型成為研究的熱潮。文獻[40]指出可以用光晶格中的冷原子系統(tǒng)模擬二維Hubbard—Hofstadter模型，對其中Hubbard項作類似于BCS平均場近似的處理。發(fā)現(xiàn)Majorana—Kramers對(MKPs)的存在，為高階拓撲現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)提供支持。同樣的文獻[41]也證明在具有Rashba和Dresselhaus兩種SOC的二維拓展Hubbard模型中得到了一階(存在零能邊緣態(tài))和二階(存在零能角態(tài))拓撲超導相，改變溫度或化學勢可以有效地調(diào)控這種相變。

4.3 非厄米

隨著研究的逐步深入，對于量子系統(tǒng)的研究從封閉系統(tǒng)走向開放系統(tǒng)，即非厄米體系，展現(xiàn)出其獨有的物理效應，如：奇異點(EPs)[42]、非厄米趨膚效應[43]等。而光學系統(tǒng)中的冷原子由于其可操縱性，可以很好地模擬非厄米效應[44—46]。

文獻[47]中提出可以利用冷原子雙光子拉曼輔助躍遷實現(xiàn)哈密頓量中的躍遷項，通過射頻脈沖將原子共振轉(zhuǎn)移得到損耗項，從而獲得非厄米的三維連續(xù)哈密頓量：

其中hx=2kxkz+2ky(m-k2/2)，hz=kx2+ky2-kz2-(m-k2/2)+iγz。發(fā)現(xiàn)其能譜中奇異點可以構(gòu)成奇異鏈(圖9(a)，(b))。與厄米情形中零能鏈受某種對稱性保護不同，Hopf鏈(圖9(a)，兩條鏈間有節(jié)點的結(jié)構(gòu))并不依賴于對稱性。例如上式哈密頓量滿足手征對稱性

，當施加破壞手征對稱性的非厄米的微擾HNH=iγyσy時，得到的Hopf鏈的拓撲結(jié)構(gòu)并未改變(圖9(c))。體系的拓撲性質(zhì)可由纏繞數(shù)

表征，其中kcn和kcp是相角?=arctan(hx/hz)的間斷點。

圖9 非厄米哈密頓量能譜中的奇異簡并情況，參數(shù)取值為(a) m = 1, γz = 0.8, γy = 0 ；(b) m = -0.25, γz = 0.15, γy = 0 ；(c) m = 1, γz = 0.8, γy = 0.5 時，哈密頓量零能解集在動量空間構(gòu)成的鏈l1和l2 。其中 γy 0 指施加了破缺手征對稱性的非厄米微擾項[47]

計算非厄米的能譜，發(fā)現(xiàn)高維體系中也存在拓撲相，同時與厄米情形不同，非厄米系統(tǒng)的零能表面模受晶格尺寸調(diào)控：由于表面模局域化程度不高，當格點數(shù)N太小時，零能模并不嚴格局域在邊緣，所以表面模消失，但是增強非厄米強度，即增大γz，可以使表面模重新出現(xiàn)。另外，改變動量可以調(diào)控表面模局域中心的位置。

非厄米體系的體邊對應關(guān)系由非布洛赫理論描述，由此計算拓撲不變量的積分區(qū)間并非是厄米情形的布里淵區(qū)，而是由廣義布里淵哈密頓量得到的廣義布里淵區(qū)。

厄米情形的許多模型在引入非厄米的作用時會涌現(xiàn)出許多新奇的行為，如文獻[48]中研究了非厄米費米超導的多體行為，其中非厄米項是二體非彈性碰撞產(chǎn)生的損耗γ。體系s波配對的非厄米的Bardeen—Cooper—Schriefferv(BCS)有效哈密頓量為

其中U=U1+iγ/2，U1和γ是大于0的實數(shù)。由于非厄米哈密頓量有兩組本征態(tài)且彼此并不對偶，因此算符A的期望值應由左右兩組本征態(tài)共同定義

，于是利用自洽平均場方法得到的超流態(tài)配對序參量Δ和

不滿足復共軛關(guān)系，即

Δ*。同時通過Bogoliubov變換后得到的準粒子既不是玻色子也不是費米子，展現(xiàn)出許多非厄米行為，如奇異點(若為高維系統(tǒng)則出現(xiàn)奇異線、面等)、非厄米超流等。

4.4 幾何動力學

關(guān)于冷原子系統(tǒng)的動力學演化行為已經(jīng)得到廣泛的研究[49，50]，但幾何的引入帶來了很多新的物理理解。文獻[51]由低能均勻稀薄玻色氣體二次量子化后的哈密頓量出發(fā)，考慮低能激發(fā)并作U(1)規(guī)范變換：

，得到SU(1, 1)群上的哈密頓量：

其中

，為SU(1, 1)群的生成元。

定義熱場二重態(tài)

(U(t)為系統(tǒng)的時間演化算符)，可以構(gòu)建和龐加萊圓盤的一一對應關(guān)系。如圖10(a)所示，圓盤上的閉軌跡對應體系的穩(wěn)定模式，即體系本征值為實數(shù)，反之對應于開軌跡?？紤]SU(1, 1)回波，可以將周期性的動力學演化和龐加萊圓盤上的幾何結(jié)構(gòu)對應(圖10(b)，(c))。當考慮次一級的相互作用時，體系SU(1, 1)對稱性自發(fā)破缺，用回波理論可以精確測量激發(fā)態(tài)粒子間的相互作用。

圖10 通過TFD將希爾伯特空間與雙曲空間聯(lián)系 (a)

取不同值(從藍到紫分別為0.3，1，1.5，2，2.2，3)時，TFD在龐加萊圓盤上的演化軌跡，閉(開)軌跡對應于體系的(不)穩(wěn)定模式；(b) SU(1,1) 回波下粒子數(shù)調(diào)控(小圖是調(diào)控的相互作用強度)；(c)龐加萊圓盤上 TFD 的演化圖，紅色虛線代表偽轉(zhuǎn)動 B(η，?) 和旋轉(zhuǎn)操作R(?0) ，藍色曲線和綠色曲線分別代表回波過程中的時間演化[51]

05量子計算

量子計算近年來發(fā)展迅速。冷原子的高度可操控性和可拓展性，使得其有很大可能實現(xiàn)高比特的量子糾纏，文獻[52]中首次提出可以用冷中性原子構(gòu)建量子計算機。中國科學技術(shù)大學潘建偉團隊自2010年開始，對超冷原子光晶格展開研究，實現(xiàn)了600多對高保真度的超冷87Rb原子糾纏[53]，模擬了拓撲量子計算的任意子激發(fā)模型[54]。在2020年，他們首次提出新的原子冷卻方案[55]：在晶格中調(diào)整局域化學式，使絕緣態(tài)冷原子樣品與大態(tài)密度的超流相交替出現(xiàn)(圖11(a))，兩相中的原子通過隧穿交換熵，熱量以低能激發(fā)的形式儲存在超流相中。通過將超流相中的原子移除并調(diào)控晶格勢，可以得到超過104點位的低溫均勻填充態(tài)。通過三能級的超交換作用，可以得到1250對兩原子比特糾纏門。由圖11(b)中自旋關(guān)聯(lián)的測量值，可以得到實驗生成密度矩陣的保真度為99.3 0.1%，遠高于之前實驗的中性原子二量子比特門的保真度。

圖11 (a)交錯式的原子冷卻平臺：超晶格中，有能隙的絕緣體樣品交錯放入無能隙的超流原子庫中， J、U、Δ 分別是動能、相互作用、能隙；(b)自旋關(guān)聯(lián)：二比特糾纏門在經(jīng)過29個門操作后在不同基下的測量值。其中

分別是泡利矩陣 σz、σx、σy 的本征態(tài)[55]

06結(jié) 語

冷原子體系由于其宏觀的量子特性和高度可調(diào)控性提供了一個全新的研究平臺，其新穎量子態(tài)和奇異物性的研究是國際上具有前瞻性和挑戰(zhàn)性的前沿領(lǐng)域。冷原子在量子精密測量、量子模擬和量子計算等領(lǐng)域有著重要的應用價值。超冷原子作為一種微觀尺度上可調(diào)控的多體系統(tǒng)，在研究和調(diào)控宏觀新奇物態(tài)上具有獨特優(yōu)勢，并成為物理學的重要分支。近十年里，超冷原子呈現(xiàn)出諸多重要的新發(fā)展，為非常規(guī)物態(tài)的實現(xiàn)和研究提供了全新的視角和可靠的實驗平臺。其中，基于超冷原子的拓撲物態(tài)研究從無相互作用或弱關(guān)聯(lián)的拓撲絕緣態(tài)開始延伸至相互作用強關(guān)聯(lián)體系；基于少內(nèi)稟自由度、短程作用超冷氣體的研究推進到多自由度、長程相互作用的新型超冷氣體平臺，有效提升對新型多體物態(tài)的模擬能力；基于平衡態(tài)理論的物態(tài)表征和傳統(tǒng)研究推進到常規(guī)凝聚態(tài)系統(tǒng)難以調(diào)控的遠離平衡的多體動力學系統(tǒng)，催生表征動力學物態(tài)的新概念和基本理論，拓寬對非平衡物理的認知。這些超越常規(guī)的多體物態(tài)研究正在為凝聚態(tài)物理、統(tǒng)計物理、非平衡場論等多個物理學科打開一扇全新的通向新物理基礎(chǔ)規(guī)律和新科學發(fā)現(xiàn)的大門，同時也將啟迪全新的功能器件技術(shù)和高科技產(chǎn)業(yè)。

在以冷原子系綜為基礎(chǔ)的精密測量領(lǐng)域取得了豐碩的成果：冷原子噴泉頻標、干涉儀測量引力常數(shù)、魔術(shù)波長光晶格頻標、冷離子頻標、冷原子重力儀、冷原子陀螺儀等新型冷原子精密測量儀器正在成為計量標準或是多次刷新了精密測量的記錄，有些應用也已經(jīng)在勘探、軍事國防等方面發(fā)揮著重要作用。極低的熱噪聲、良好的相干性、靈活的操控性以及極高的信噪比使得冷原子系統(tǒng)可以用于制造量子信息的新型量子器件，也使其在量子精密測量、量子信息存儲、量子信息傳輸?shù)戎匾孔有畔㈩I(lǐng)域有著重大科學意義與技術(shù)應用。這些研究方向代表了未來信息技術(shù)發(fā)展的重要戰(zhàn)略趨勢，是世界各國展開激烈競爭的下一代量子信息體系的焦點，并極有可能對人類社會的經(jīng)濟發(fā)展產(chǎn)生巨大的影響。