我們生活在三維空間中，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理的時(shí)候就已經(jīng)對此有所了解了。比如做三維空間的題目時(shí)需要做的是三條輔助線，這三條輔助線分別代表了各個(gè)維度，也就是我們熟知的長寬高。除了生活的三維空間，科學(xué)家們還想到了平面，二維空間甚至是四維空間。
三維空間
而為了讓大家更加了解二維空間和四維空間，科學(xué)家們想出了莫比烏斯環(huán)和克萊因瓶來解釋它們，讓人們更加具體可感地了解不同空間的狀態(tài)。但是為什么能夠造出莫比烏斯環(huán)而造不出來克萊因瓶呢？要想知道這個(gè)問題，就首先要了解空間的各個(gè)維度之間的關(guān)系，以及了解拓?fù)鋵W(xué)的概念。
克萊因瓶
接下來，本文就將從以下幾個(gè)方面來回答這些問題：第一，空間的各個(gè)維度代表了什么；第二介紹莫比烏斯環(huán)與克萊因瓶；第三，介紹拓?fù)?/a>學(xué)；第五，解析科學(xué)家們無法造成克萊因瓶的原因。
空間的各類維度
現(xiàn)在要談?wù)摰木褪堑谝粋€(gè)問題：維度，其實(shí)就是空間，可以看做是一個(gè)容器，在這個(gè)容器里面，分為了體積和形態(tài)兩個(gè)方面?？茖W(xué)家們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到這個(gè)世界分為11個(gè)維度，但是我們更多的還是了解1到4維度的物體。
維度就是空間
在了解二維和三維的時(shí)候，人們經(jīng)常拿日常中隨時(shí)可見的小螞蟻來舉例子。因?yàn)樾∥浵伜腿祟惖囊曇安煌?，在它們看來這個(gè)世界就是點(diǎn)和線組成的。它們的生存依靠的不是視野而是氣味和觸覺，在它們微弱的視線中，點(diǎn)和線構(gòu)成了這個(gè)世界。也因此有人認(rèn)為可以將螞蟻看成是二維的動(dòng)物。
那么因此可見，二維的世界就是點(diǎn)和線。在我們現(xiàn)在所了解的維度中，分為0維度，1維，2維，3維和4維。
二維空間的代表——螞蟻
0維就是一個(gè)點(diǎn)，它們的運(yùn)動(dòng)是靜止的，可以用一個(gè)頂點(diǎn)來表示，大眾普遍認(rèn)為這就是奇點(diǎn)。1維就是一條線，它是0維的運(yùn)動(dòng)，可以表示為兩個(gè)頂點(diǎn)和一條線。2維是一個(gè)面，是1維的運(yùn)動(dòng)，表示為4個(gè)頂點(diǎn)，4條線和1個(gè)面。3維是一個(gè)體，相當(dāng)于2維的運(yùn)動(dòng)，有8個(gè)頂點(diǎn)，12條線，6個(gè)面。最后的4維是一個(gè)超體，它擁有著3維的運(yùn)動(dòng)，16個(gè)頂點(diǎn)，32條線，24個(gè)面，8個(gè)體和1個(gè)超體。
人在模擬四維空間里
這樣的描述或許有些抽象，在我們?nèi)粘Ｉ钐幪幊錆M了三維的事物，對于三維和可以畫在紙上的平面都比較好理解。那么二維和四維該怎么表示呢？科學(xué)家們因此研究出來了莫比烏斯環(huán)和克萊因瓶來分別表示二維和四維空間。
莫比烏斯環(huán)
接下里，我們分析第二個(gè)方面：或許你在高中數(shù)學(xué)課上面看到過數(shù)學(xué)老師用紙條做出來的簡易版莫比烏斯環(huán)，其實(shí)它就是可以用一條紙條將它扭轉(zhuǎn)180 之后，將紙條的兩頭粘粘起來，這就形成了莫比烏斯環(huán)。
莫比烏斯環(huán)
在這個(gè)環(huán)上，你無法分清楚正反面，因?yàn)闊o論哪一面，都既可以看做是正面，也可以看做是反面。這就是莫比烏斯環(huán)的魅力。更為神奇的是，將一只小螞蟻放在這個(gè)環(huán)上讓它爬，我們可以發(fā)現(xiàn)，小螞蟻不需要返回就能將這個(gè)環(huán)的兩面都走完。而這個(gè)環(huán)是來自十九世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯和另一位數(shù)學(xué)家一起發(fā)明和設(shè)計(jì)的。
德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯
莫比烏斯環(huán)在我們生活中被看做是循環(huán)的代表，就像在垃圾桶上面印著的圖案，也是衍生之后的莫比烏斯環(huán)的象征。那么，克萊因瓶又是哪個(gè)維度的代表呢？
克萊因瓶
現(xiàn)在來到了第三個(gè)方面的問題：克萊因瓶表示的就是四維的空間。比我們生活的三維空間多一個(gè)維度，它在數(shù)學(xué)上叫做標(biāo)準(zhǔn)歐幾里得空間。人們常常將標(biāo)準(zhǔn)歐幾里得空間和愛因斯坦提到過的四維空間相混淆，但是兩者是不盡相同的。
克萊因瓶
四維空間除了我們熟知的長寬高這三個(gè)維度之外，還多了一個(gè)時(shí)間維度。由于我們現(xiàn)在對于更高空間的認(rèn)識(shí)的不足，所以用我們看待三維世界的眼光來看待四維空間，發(fā)生的情況就像小螞蟻用二維點(diǎn)和線的眼光來看待三維空間一樣，會(huì)出現(xiàn)空間的交叉和重疊。
空間交叉重疊
在科學(xué)家用電腦設(shè)計(jì)出來的克萊因瓶的造型中，可以觀察得知，它看起來就像是一個(gè)奇怪的玻璃瓶子。這個(gè)瓶子是一個(gè)封閉的空間，瓶子的底部和頂部連接在一起，最終歪歪扭扭地延伸進(jìn)瓶子的內(nèi)部。
就像莫比烏斯環(huán)分不清楚正面和反面一樣，這個(gè)克萊因瓶是分不清楚內(nèi)部和外部的，看起來的內(nèi)部換個(gè)角度就變成了外部，而看起來的外部換個(gè)角度又能看成是內(nèi)部。
奇怪的玻璃瓶子裝不滿
還有科學(xué)家解釋到，如果把東西往克萊因瓶里面塞，那么克萊因瓶將會(huì)永遠(yuǎn)不被裝滿，這就是克萊因瓶的奇妙之處。那么，為何人們能夠簡單地造出莫比烏斯環(huán)而造不出克萊因瓶呢？
為何造不出克萊因瓶
接下來是第四個(gè)方面的問題：我們現(xiàn)在生活的環(huán)境是三維的空間，在這個(gè)空間里面，能夠表示二維的事物，也能畫出平面的東西。但是想要更往上一個(gè)維度，那就很難來表示了。
生活在三維的房子里
因?yàn)檫@個(gè)維度的所有東西都是三維，想要在一個(gè)三維的世界里面生產(chǎn)一個(gè)四維的事物是不可能的。也就是說，在我們現(xiàn)實(shí)的生活中，設(shè)計(jì)不出來克萊因瓶。
在一些精品店里面會(huì)賣很多物品的擺件，在那里賣的克萊因瓶又是怎么一回事呢？根據(jù)科學(xué)家的解釋和對于克萊因瓶的定義，在那些店里面賣的克萊因瓶都是假的虛構(gòu)的，并不是真正意義上的克萊因瓶。
都是贗品
因?yàn)樵谏a(chǎn)中克萊因瓶的瓶頸和瓶子的面壁一定會(huì)相交或是相連，這樣才能將瓶子做出來。而這樣的生產(chǎn)打破了定義中連續(xù)性不可中斷的特點(diǎn)，這樣的瓶子失去了連續(xù)性和單側(cè)性，所以是假貨。
拓?fù)鋵W(xué)
而不論是莫比烏斯環(huán)還是克萊因瓶，這些都表示的是不同維度的物體。這些幾何方面的學(xué)科就是接下來我們要解釋的拓?fù)鋵W(xué)。曾經(jīng)是研究數(shù)學(xué)問題的，是數(shù)學(xué)方面的一個(gè)分支，分析的范圍是物體在連續(xù)變形下的性質(zhì)的不變性。而現(xiàn)在拓?fù)鋵W(xué)大多用于研究物理方面的問題，在上世紀(jì)的五十年代引用到了物理研究上。在拓?fù)鋵W(xué)方面，我們對更多的問題有了更加深入地了解和認(rèn)識(shí)：例如，拓?fù)鋵W(xué)在超導(dǎo)方面的狀態(tài)的變化和利用拓?fù)鋵W(xué)將物質(zhì)的狀態(tài)進(jìn)行分類。
拓?fù)鋵W(xué)
在超導(dǎo)方面的狀態(tài)變化就是當(dāng)發(fā)現(xiàn)了第二類的導(dǎo)體之后，運(yùn)用拓?fù)鋵W(xué)來發(fā)現(xiàn)其表現(xiàn)形式為磁渦旋，這類的磁渦旋呈現(xiàn)出拓?fù)淙毕莸臓顟B(tài)。為此，物理學(xué)家根據(jù)這樣的新理論發(fā)明了超導(dǎo)環(huán)感應(yīng)強(qiáng)烈的磁強(qiáng)針。
而利用拓?fù)鋵W(xué)將物質(zhì)進(jìn)行分類便是將拓?fù)鋵W(xué)運(yùn)用于新的絕緣子的分離。新型的絕緣子和已知的絕緣子很像，但是它的表面非常光滑。用拓?fù)鋵W(xué)的知識(shí)就可以很容易地區(qū)分出來，并且還能測量出表面的霍爾電導(dǎo)數(shù)值。
絕緣子
可見，拓?fù)鋵W(xué)在各類新的研究上面都發(fā)揮了很重大的作用，可以突破更多方面的研究成果。而拓?fù)鋵W(xué)也屬于一個(gè)新的領(lǐng)域，人們在這個(gè)新的領(lǐng)域還將會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的新知識(shí)，能將其運(yùn)用到更多方面來幫助我們生活。
