1. 引言

1899年，德國物理學家、量子理論的開山鼻祖馬克斯·普朗克 (Max Planck) 提出了一套特殊的單位制。他試圖通過三個我們宇宙中的基本物理學常數(shù)：光速 ，約化普朗克常數(shù)和牛頓引力常數(shù) 來構(gòu)建長度、時間、質(zhì)量、能量等基本物理量的基本單位，這些基本單位統(tǒng)稱為普朗克量。

馬克斯·普朗克（1858—1947）

通過量綱分析，普朗克發(fā)現(xiàn)唯一可能的具有對應量綱的物理量為

• 普朗克時間
• 普朗克尺度
• 普朗克質(zhì)量
• 普朗克能標

等等。單純從數(shù)值上來看，這些普朗克量很“極端”，它們對應了極短的時間尺度，極短的空間尺度，極高的能量標度。

一種常見于科普文中的說法是它們都表征了我們這個宇宙中的某種“極限”數(shù)值，例如普朗克時間和普朗克尺度是我們宇宙中時間和空間的最小不可分割單元，普朗克能標是我們宇宙中所能達到的最高能標，等等。

然而，這種說法其實是不正確的，或者至少是不嚴謹?shù)?。我們接下來將從一些（至少看起來）更深刻的方面去考察普朗克量的真正含義。

從普朗克尺度到哈勃尺度

一顆定心丸：本文仍然是科普文，為了通俗我們將放棄一些不必要的嚴格性并略去所有的公式推導，所以讀者可以放心地看下去。

2. 普朗克量中的基本常數(shù)

首先我們來考察組成這些普朗克量的三個基本物理學常數(shù)：光速，約化普朗克常數(shù) 和牛頓引力常數(shù) ，在國際單位制下它們的數(shù)值分別為

這三個常數(shù)在物理學中極其基本和重要，因為它們分別是相對論、量子力學和引力理論的代言人。

2.1 光速

1905 年愛因斯坦建立了狹義相對論，完全地解決了麥克斯韋方程組和伽利略世界觀之間的矛盾：時間和空間應該是平權(quán)的，它們隨著慣性系的改變而一起 “協(xié)同地變換”。狹義相對論最重要的一個假設(shè)就是光速大小不隨觀者變化，在所有的慣性系中光速都是一個常數(shù)。

任何慣性參考系中測到的光速大小是一樣的

從這個假設(shè)出發(fā)，我們能推出慣性系之間的時空坐標變換必須保持如下的四維時空間隔不變

進一步我們能推出慣性系之間時空坐標變換的定量關(guān)系，也就是洛倫茲變換。狹義相對論的一個重要推論就是它統(tǒng)一了質(zhì)量和能量的概念。對于一個質(zhì)量為 的靜止的物體，其能量 由質(zhì)量和光速平方的乘積給出

容易看出，上面定義的普朗克能標和普朗克質(zhì)量之間也滿足這樣的關(guān)系

因為光速 c 是一個對所有慣性觀者都不變的常數(shù)，所以談到某個物體的質(zhì)量和能量時我們完全可以將其視為一回事?；蛘叩葍r地，對能量的單位做一個重新標度 (rescale)，我們可以將光速設(shè)為1，這就是所謂的自然單位制。自然單位制的好處是所有的物理量的量綱都可以化為能量量綱的冪次，這對于標度估算極其方便。在自然單位制下，普朗克能標和普朗克質(zhì)量就完全是一回事了，

同時，普朗克尺度和普朗克時間也完全是一回事了，因為普朗克尺度就是光在普朗克時間內(nèi)走過的距離

2.2 普朗克常數(shù)

上面通過將光速設(shè)為 1，我們統(tǒng)一了普朗克能標和普朗克質(zhì)量，也統(tǒng)一了普朗克時間和普朗克尺度，那么普朗克能標 (質(zhì)量) 和普朗克時間 (尺度) 之間有什么關(guān)系呢？這將不得不涉及到統(tǒng)治微觀世界的量子理論。

普朗克量之間的關(guān)系

1900年，為了解釋黑體輻射的實驗，普朗克假設(shè)黑體不能像經(jīng)典物理中那樣連續(xù)地輻射和吸收能量，對于角頻率為 的電磁波，其輻射和吸收的最小能量單元為

其中是一個和頻率無關(guān)的極小常數(shù)，被稱為約化普朗克常數(shù)。普朗克的這種 “能量以 為基本單位進行量子化“ 的假設(shè)非常完美地解釋了黑體輻射的實驗曲線，并在之后成為了量子理論的開端。

1924年，德布羅意 (de Broglie) 提出實物粒子也具有波動性，其動量 p 和波長 lambda 之間的關(guān)系為

對于一個質(zhì)量為 的實物粒子，我們總可以定義一個特征波長，被稱為粒子的康普頓波長 (Compton wavelength)

康普頓波長的含義是：如果我們將一個粒子的位置確定到它的康普頓波長以內(nèi)，那么具有的能量漲落將大到足以再產(chǎn)生一個這樣的粒子。這是因為根據(jù)海森堡的不確定性關(guān)系，我們沒法同時確定一個粒子的位置和動量 (能量)，它的位置確定得越精確，其動量 (能量) 的不確定度就越大，它們不確定度的乘積大概是的量級。如果我們將一個粒子的位置準確到其康普頓波長以內(nèi)，那么由此帶來的能量不確定度將大于這個粒子的靜止能量，這么大的能量足以從真空中再產(chǎn)生一個這樣的粒子。

從康普頓波長的定義我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，普朗克尺度正是一個具有普朗克質(zhì)量的粒子所具有的康普頓波長

或者從不確定關(guān)系的角度出發(fā)，當我們把時間確定到普朗克時間以內(nèi)，其能量具有的不確定度將達到普朗克能標

出于和把光速設(shè)為1一樣的原因，在自然單位制下我們也把約化普朗克常數(shù)設(shè)為1，這樣普朗克能標 (質(zhì)量) 和普朗克時間 (尺度)之間就成了簡單的倒數(shù)關(guān)系

普朗克量之間的關(guān)系

2.3 牛頓引力常數(shù)

在經(jīng)典物理時代，人們最引以為豪的成就就是能用同一個公式來計算天地萬物之間的引力。對于兩個質(zhì)量分別為和，相距為的質(zhì)點，它們之間的引力由牛頓萬有引力公式描述

其中的負號代表了吸引力，是一個和物體性質(zhì)無關(guān)的常數(shù)，被稱為牛頓引力常數(shù)，它描述了物體間萬有引力的強弱。牛頓的引力理論在遇到強引力場時會失效，它被愛因斯坦的廣義相對論所替代，在廣義相對論中，引力被描述為時空的彎曲。

引力=時空的彎曲

和牛頓時空觀不同的是，廣義相對論中的時空不再是物質(zhì)演化的背景舞臺，而是會影響物質(zhì)的分布，反過來物質(zhì)的分布也會影響時空的幾何。物質(zhì)和時空交織耦合在了一起，“物質(zhì)告訴時空如何彎曲，時空告訴物質(zhì)如何運動”，物質(zhì)和時空之間的這種 “愛恨情仇” 在定量上由愛因斯坦場方程描述

其中方程左邊的是愛因斯坦張量，它刻畫了時空的幾何性質(zhì)，而方程右邊的是能動張量，它對應了物質(zhì)的分布。

支配我們宇宙運行的方程：愛因斯坦引力場方程

我們可以看到，在廣義相對論中又一次出現(xiàn)了牛頓引力常數(shù)的身影，它現(xiàn)在刻畫了物質(zhì)和時空之間耦合的強度。牛頓引力常數(shù)的再次出現(xiàn)是很自然的結(jié)果，因為在弱引力極限下，廣義相對論必須要退化為牛頓的引力理論。所以有引力出現(xiàn)的地方，就必然有。我們在后面可以看到，這個描述引力的常數(shù)，究竟是如何同我們宇宙中的“極限”量——普朗克量聯(lián)系起來的。

2.4 WHY?

上面我們通過分析組成普朗克量的三個基本常數(shù)，討論了不同普朗克量之間的關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)它們其實都是互相等價的，知道了其中一個，也就知道了其他幾個。特別地，在自然單位制下，它們之間就是簡單的相等或者倒數(shù)關(guān)系。

那么接下來，我們要問一個基本的問題：Why？為何通過，和的冪次組合就能得到我們宇宙中的“極限”數(shù)值呢？

為啥捏？

一種常見的argument是光速 ，約化普朗克常數(shù) 和牛頓引力常數(shù)都是很基本的物理學常數(shù)，它們分別描述了相對論、量子力學和引力的基本性質(zhì)，而這三個基本常數(shù)通過量綱分析能組合出的唯一具有正確量綱的量就是上面列出的這些普朗克量。

這樣的解釋充其量只能說明普朗克量也應該是很基本的物理量，并且很有可能同時蘊含了量子理論和引力的信息，但并沒有回答問題的本質(zhì)，即它們?yōu)楹问俏覀冇钪嬷械摹皹O限”量？

在接下來的兩節(jié)中，我們將分別從引力和量子場論的角度，來考察普朗克量的“極限”之處。

3. 黑洞：對不起我不能再輕了

廣義相對論最大的成就之一就是預言了黑洞——一種引力極大、極其致密以至于連光都沒法逃脫其束縛的奇特天體的存在。在愛因斯坦1915年發(fā)表他的廣義相對論后的短短一年，就由德國物理學家史瓦西 (Schwarzschild) 解出了場方程的第一個解析解——史瓦西解。這個解預言了球?qū)ΨQ、不帶電、不自轉(zhuǎn)的黑洞的存在，這類最簡單的黑洞被稱為史瓦西黑洞。對于一個質(zhì)量為的史瓦西黑洞，它的 “半徑” (視界) 由下式給出

這被稱為史瓦西半徑，它恰巧就等于當年拉普拉斯所預言的“暗星” 的半徑。將一個物體保持質(zhì)量不變并壓縮到它的史瓦西半徑以下，那它就成了一個黑洞。我們現(xiàn)在考察一個質(zhì)量為 的史瓦西黑洞，并令它的半徑等于它的康普頓波長

我們發(fā)現(xiàn)其對應的質(zhì)量正好就是普朗克質(zhì)量！

這意味著普朗克質(zhì)量是最小的能穩(wěn)定存在的黑洞的質(zhì)量，因為如果黑洞的質(zhì)量小于普朗克質(zhì)量，其對應的史瓦西半徑將小于它的康普頓波長，按照上面一節(jié)的論述，這將產(chǎn)生足夠大的能量漲落來從真空中生成另一個黑洞，從而這個黑洞不能穩(wěn)定存在。

普朗克量之間的關(guān)系

從另一個角度來講，普朗克能量也是對撞機實驗所能探測到的能量極限。我們知道，對撞機的對撞能量越高，所能探測到的尺度就越小。當對撞能量達到普朗克能量時，其探測到的尺度將可以精確到普朗克尺度，它在數(shù)值上正好等于一個普朗克質(zhì)量的黑洞的史瓦西半徑 (忽略一些常數(shù)因子)

進一步地，如果對撞機能量大于普朗克能量，其探測到的尺度將小于對應質(zhì)量的黑洞的史瓦西半徑，即

left(frac{hbar c}{G}right)^{1/2}Rightarrow frac{hbar}{M c}

這相當于把質(zhì)量為 M 的物體壓縮到了其史瓦西半徑之下，從而會帶來災難性的后果：對撞會產(chǎn)生黑洞！撞擊處的周圍會被黑洞的視界覆蓋，我們無法獲得其中任何的對撞信息。若繼續(xù)提高能量，產(chǎn)生的黑洞質(zhì)量會更大，其視界也會更大，從而我們無法觀測的區(qū)域也會更大。所以，普朗克尺度是通過對撞機探測微觀世界的“極限分辨率”，小于這個尺度的空間會因為黑洞的產(chǎn)生而無法觀測。

4. 有效理論——基本物理理論的失效

我們知道以量子場論為框架的標準模型相當成功地描述了電磁力、弱力和強力，并且標準模型被證明是可以重整化的。但是引力并沒有被包括進來，一個很重要的原因就是引力沒法重整化，根源在于引力的耦合常數(shù)，即牛頓引力常數(shù)的量綱是能量量綱的 -2 次，而一個理論的耦合常數(shù)如果是負的，那么這個理論就不可重整。

不可重整的含義是沒辦法引入有限多的抵消項來消除圈圖計算中的所有無窮大。一個不可重整的理論稱為有效理論，意思是這個理論只在某個特定的能標以下有用，一旦超過這個能標，這個理論就失效了，這種能標的截斷稱為 cut off，cut off 的具體位置就由這個有效理論決定，其實就是由它的耦合常數(shù)決定。

例如早期的弱相互作用理論中的四費米子相互作用，其耦合常數(shù)：費米常數(shù)的量綱也是 -2，所以四費米子相互作用也是一個有效理論，一旦能標達到 的時候，四費米子相互作用就失效了，必須要被更加完整的理論替代，后來我們知道這就是電弱統(tǒng)一理論。

回到引力的問題來，在嘗試把經(jīng)典引力進行重整化的時候，因為引力的耦合常數(shù) G 的量綱是 -2，不可避免也要進行能標截斷，截斷的具體位置正是由牛頓引力常數(shù)決定。在自然單位制下，代入牛頓引力常數(shù)的值，你會發(fā)現(xiàn)這其實就是普朗克能標

所以，普朗克能標的真正含義是：經(jīng)典引力理論失效的地方。

而我們目前并沒有一個成功的量子引力理論，所以對于普朗克能標以上的物理，我們沒有任何理論可以進行描述。所以

普朗克能標也是我們目前的所有物理理論能描述的最高的能標。

有了普朗克能標的值，通過簡單的換算就可以得到普朗克時間的值 。在宇宙大爆炸發(fā)生后的普朗克時間內(nèi)，即秒內(nèi)，根據(jù)不確定關(guān)系，宇宙的溫度要高于普朗克能標，上面已經(jīng)分析過，在這個階段我們沒有任何有效的物理理論去描述它，所有現(xiàn)有的物理規(guī)律全部失效，所以在這個意義上，普朗克時間才被稱為是我們宇宙中最小的時間尺度。

普朗克量的真正含義

5. 總結(jié)

本文的主要目的是想糾正很多人關(guān)于“普朗克時間和普朗克尺度是我們宇宙中的最小時空單元”的誤解，以及由此產(chǎn)生的“我們的世界是離散化”的謬論。量子化絕不是時空的離散化，主流的物理理論仍然堅持認為我們的時空是連續(xù)分布的，離散化的時空會破壞最基本的洛倫茲對稱性。最后，重要的事情只說一遍，普朗克能標并不意味著宇宙中的最高能標，它只是我們目前已知的物理理論所能描述的最高能標；普朗克尺度也不是宇宙中的最小尺度，它只是我們目前已知的物理理論所能描述的最小尺度。

附注：

[1] 是微觀世界中常用的能量標度，它等于十億電子伏特。1電子伏特定義為一個電子通過1伏特的電場所獲得的能量，它等于焦耳。對于微觀世界，焦耳是一個過大的能量標度，所以我們更多采用電子伏特。（打個比方：我們用光年衡量星系之間的距離，用公里衡量地球上兩地之間的距離，用米衡量一個房間里兩個人之間的距離，用是否點擊關(guān)注衡量我和你之間的距離。）

[2] 原文為 “Matter tells spacetime how to curve, spacetime tells matter how to move”，by John Wheeler。

[3] 嚴格來說會差一個因子，但這是無關(guān)緊要的。

[4] 重整化是一種消除無窮大的技術(shù)。因為物理可觀測量一定是有限大的，物理學家無法容忍一個“無窮大”的可觀測量，但是量子場論的計算中會出現(xiàn)大量的無窮大，所以他們需要一個系統(tǒng)的方案來從這些無窮大中提取出和實驗觀測相符的有限量?？梢灾卣且粋€理論“完備性”的基本要求。

[5] 回憶一下，在自然單位制中，所有物理量的量綱都可以轉(zhuǎn)化為能量量綱的冪次——也許你現(xiàn)在能體會到自然單位制的優(yōu)越性了。

[6] 有效理論的廣泛性甚至遠遠超出量子場論和重整化的范疇，它的存在體現(xiàn)了物理規(guī)律隨著能量標度分層表現(xiàn)的特點，即處于不同能標處的物理系統(tǒng)有其自身的規(guī)律，它們獨立演化、互不干擾。固然，從原則上講低能標處的物理規(guī)律可以由高能標處更基本的規(guī)律所決定，但當我們不知道高能標處規(guī)律的時候一樣也可以通過有效理論來描述低能標時候的物理規(guī)律并和實驗符合得很好。正如在發(fā)射火箭時只需要牛頓力學而不用考慮廣義相對論，在煮咖啡時只需要熱力學而不用考慮組成咖啡分子的夸克之間的量子色動力學一樣，很多時候我們只需要考慮有效理論就足夠了——它不完備，但是很有效。

[7] 凡事都有例外，作為量子引力的一個熱門候選者，圈量子引力理論在一開始就放棄了空間連續(xù)性和平滑性的假定，通過保守性地整合量子理論和廣義相對論，它能夠建立了一套自洽的理論——當然，那是另外一個故事了。在圈量子引力理論中，時空確實是離散化的，時空的最小基本單元大概就是普朗克時間和普朗克尺度。拋棄時空連續(xù)性的圈量子引力看起來像是一個怪胎，但，也許它是對的呢？

本文首發(fā)于公眾號 yubr，原文鏈接：普朗克尺度和普朗克時間