導(dǎo)語

量子元胞自動(dòng)機(jī)在量子電路中只根據(jù)近鄰的狀態(tài)演化量子比特，并模擬豐富的物理復(fù)雜性如何從一組簡單的底層動(dòng)力學(xué)規(guī)則中涌現(xiàn)。經(jīng)典計(jì)算機(jī)無法模擬大型量子系統(tǒng)，這阻礙了對量子元胞自動(dòng)機(jī)的探索，但量子計(jì)算機(jī)為此提供了一個(gè)理想的模擬平臺。

8月2日發(fā)表于 Nature Communications 的最新研究在量子處理器上用實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了量子元胞自動(dòng)機(jī)，包含多達(dá)23個(gè)超導(dǎo)量子比特。研究進(jìn)一步計(jì)算互信息來分析量子元胞自動(dòng)機(jī)的群體動(dòng)力學(xué)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特性，后者表明小世界互信息網(wǎng)絡(luò)的形成。這些計(jì)算可能有助于將量子元胞自動(dòng)機(jī)應(yīng)用于強(qiáng)關(guān)聯(lián)物質(zhì)的模擬，或超越經(jīng)典的計(jì)算演示。

研究領(lǐng)域：量子計(jì)算，元胞自動(dòng)機(jī)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，互信息，涌現(xiàn)

論文題目：

Small-world complex network generation on a digital quantum processor

論文地址：

https://www.nature.com/articles/s41467-022-32056-y

1. 量子處理器模擬量子元胞自動(dòng)機(jī)

關(guān)于自然世界一個(gè)深刻觀察是，盡管支撐它的是一套簡單的物理定律，但宇宙展現(xiàn)出大量復(fù)雜的涌現(xiàn)現(xiàn)象，在物理學(xué)、生物學(xué)、社會學(xué)等不同領(lǐng)域都可以遇到。這種復(fù)雜性在經(jīng)典系統(tǒng)中的例子有：生態(tài)系統(tǒng)、人腦和電網(wǎng)，它們都是許多自由度相互作用的結(jié)果。

在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，經(jīng)典的元胞自動(dòng)機(jī)（cellular automata, CA）展示了復(fù)雜性如何從簡單規(guī)則中產(chǎn)生，而無需設(shè)計(jì)者的控制。元胞自動(dòng)機(jī)具有產(chǎn)生振蕩、自復(fù)制結(jié)構(gòu)的能力。然而我們知道，構(gòu)建我們宇宙模型的最好定律是量子的而非經(jīng)典的。因此，為了從根本上模擬復(fù)雜性的涌現(xiàn)，我們應(yīng)該研究基于量子力學(xué)的計(jì)算模型。

量子元胞自動(dòng)機(jī)（QCA）是一類計(jì)算模型，它由簡單的局域幺正算符（local unitary operators）的重復(fù)塊構(gòu)造而成，表現(xiàn)出涌現(xiàn)的復(fù)雜性。它們涉及到局部區(qū)域內(nèi)的權(quán)衡，這是經(jīng)典系統(tǒng)復(fù)雜性的來源，也是自組織臨界性的必要因素。一些量子元胞自動(dòng)機(jī)被證明可以生成互信息網(wǎng)絡(luò)，顯示出通常只在經(jīng)典的小世界網(wǎng)絡(luò)（如社交網(wǎng)絡(luò)或生物網(wǎng)絡(luò)）中觀察到的復(fù)雜性特征，例如網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)高、平均路徑長度短，和節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布平坦。

量子元胞自動(dòng)機(jī)是實(shí)現(xiàn)下一代集成電路的強(qiáng)有力候選器件，它有著獨(dú)特的工作機(jī)理，不是像傳統(tǒng)器件那樣通過電壓或電流，而是通過臨近器件的磁場或庫倫耦合作用來傳遞和處理信息。此外，量子元胞自動(dòng)機(jī)已被提出可用于其他領(lǐng)域，如強(qiáng)關(guān)聯(lián)物質(zhì)模擬中的晶格離散化、量子場和引力理論，還可以耦合成量子細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

雖然有著廣闊的應(yīng)用前景，但經(jīng)典計(jì)算機(jī)模擬大型量子系統(tǒng)時(shí)間演化的能力受到限制，這成為了阻礙量子元胞自動(dòng)機(jī)發(fā)展的瓶頸。與此同時(shí)，過去幾年，大量數(shù)字量子處理器的誕生證明，它們作為科學(xué)發(fā)現(xiàn)工具具有重要價(jià)值。量子處理器由于其通用性，是闡明量子元胞自動(dòng)機(jī)的物理和復(fù)雜性特征的理想平臺。

這項(xiàng)新研究在 Sycamore *類超導(dǎo)量子處理器上模擬一個(gè)特定的一維量子元胞自動(dòng)機(jī)，如圖1所示。通過群體動(dòng)力學(xué)計(jì)算和互信息矩陣的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)表征，研究發(fā)現(xiàn)這種量子元胞自動(dòng)機(jī)會形成小世界互信息網(wǎng)絡(luò)，從而表現(xiàn)出涌現(xiàn)的物理復(fù)雜性。這一結(jié)果有助于促進(jìn)將量子處理器作為量子元胞自動(dòng)機(jī)模擬器廣泛使用，并為如何從實(shí)驗(yàn)上研究量子元胞自動(dòng)機(jī)提供一個(gè)模板。

*注：Sycamore（懸鈴木）是 Google 創(chuàng)造的量子處理器，包含53個(gè)量子比特。2019年，Google 宣稱 Sycamore 200秒完成的任務(wù)，最先進(jìn)的超級計(jì)算機(jī)需要10000年才能完成，從而宣稱實(shí)現(xiàn)量子優(yōu)越性。

圖1. 一維量子元胞自動(dòng)機(jī)電路。

a. 將一維 QCA 鏈嵌入二維量子處理器子集的原理圖。一維 QCA 為包含 L 個(gè)量子比特的鏈。實(shí)驗(yàn)中運(yùn)行 QCA 模擬的超導(dǎo)量子處理器包含53個(gè)量子比特，遵循 Sycamore 架構(gòu)設(shè)計(jì)。b. 一維 QCA 電路的一般結(jié)構(gòu)，其時(shí)間向右流動(dòng)。當(dāng)每個(gè)量子比特的狀態(tài)被更新時(shí)，一個(gè) QCA 循環(huán)完成。一維 QCA 實(shí)驗(yàn)的結(jié)構(gòu)包括一個(gè)初始化步驟，然后對所有L個(gè)量子比特應(yīng)用若干幺正 QCA 更新循環(huán)，接著執(zhí)行測量。

2. 量子元胞自動(dòng)機(jī)中涌現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特性

研究中通過計(jì)算香農(nóng)互信息（mutual information），來深入地理解 QCA 的群體動(dòng)力學(xué)，并建立其復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)行為。遵循神經(jīng)科學(xué)中的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方法，即大腦的功能連接通過空間上不相鄰的區(qū)域刻畫，這里計(jì)算每個(gè)一維 QCA 鏈中所有量子比特對之間的經(jīng)典香農(nóng)互信息，并將其視為關(guān)聯(lián)性的鄰接矩陣，定義每個(gè)循環(huán)的 QCA 網(wǎng)絡(luò)。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)既不是純粹的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，也不是完全隨機(jī)的網(wǎng)絡(luò)。一個(gè)具有小世界特性的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)有幾個(gè)主要特征：較大的聚類系數(shù)，較短的平均路徑長度，節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度遵循冪律分布導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)高度連接。這使得小世界網(wǎng)絡(luò)能很容易地在局部和全局遍歷，并具有 hub 節(jié)點(diǎn)。

小世界網(wǎng)絡(luò)的特征被廣泛用于分析互信息網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，在經(jīng)典和量子系統(tǒng)中得出關(guān)于底層系統(tǒng)物理復(fù)雜性的結(jié)論，如來自腦電圖或 fMRI 數(shù)據(jù)的互信息網(wǎng)絡(luò)已被用于闡明大腦的結(jié)構(gòu)-功能相關(guān)性。因此，這項(xiàng)研究將聚類、路徑長度和節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布與互信息結(jié)合起來，作為一個(gè)具有預(yù)測能力的定量過程，來理解 QCA 電路中的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，并觀察量子處理器噪聲存在時(shí)物理復(fù)雜性的涌現(xiàn)。

為分析 QCA 生成網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性，研究將數(shù)值模擬、原始數(shù)據(jù)和后選擇數(shù)據(jù)三種情況，與后選擇的非相干均勻隨機(jī)狀態(tài)進(jìn)行比較。如圖2所示，一維 QCA 演化過程的數(shù)值模擬，初始化狀態(tài)是對21個(gè)量子比特的中間一位進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，然后進(jìn)行 30 個(gè) QCA 循環(huán)，可以觀察到對抗平衡的相干動(dòng)力學(xué)。當(dāng)在原始處理器上重復(fù)這個(gè)過程時(shí)，由于各種誤差和噪聲會導(dǎo)致迅速發(fā)生退相干。而應(yīng)用后選擇（post-selection）技術(shù)來優(yōu)化電路性能，可以使得相干動(dòng)力學(xué)持續(xù)更長時(shí)間。

圖2. 一維 QCA 的群體動(dòng)力學(xué)（population dynamics）。

a. 數(shù)字模擬 QCA ，觀察到的藍(lán)色菱形表明對抗平衡的相干動(dòng)力學(xué)。b. 相同 QCA 電路，原始數(shù)據(jù)顯示的群體動(dòng)力學(xué)。c. 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與b相同，但應(yīng)用了后選擇技術(shù)。

對這幾種不同的 QCA 生成網(wǎng)絡(luò)，分別計(jì)算聚類系數(shù)、平均路徑長度、節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布。圖3a表示平均聚類系數(shù)與系統(tǒng)尺寸的關(guān)系。可以清楚看到，從原始數(shù)據(jù)（紅色點(diǎn)）計(jì)算出的聚類系數(shù)在短暫上升后迅速衰減到零，接近非相干均勻隨機(jī)極限；模擬（藍(lán)色曲線）和后選擇（綠色曲線）的聚類系數(shù)都趨于 C 0.3，并隨著系統(tǒng)增大而趨于更大的值，表明網(wǎng)絡(luò)的傳播性超越了后選擇隨機(jī)性（黑色虛線），顯示出小世界網(wǎng)絡(luò)特征。

圖3b顯示平均最短路徑長度隨系統(tǒng)尺寸的變化，衡量網(wǎng)絡(luò)的全局可遍歷性?？梢钥吹?，原始數(shù)據(jù)（紅色）的平均路徑長度較大，并隨系統(tǒng)增大而增大。模擬（藍(lán)色）與后選擇（綠色）的路徑長度隨系統(tǒng)增大而減小。圖4a和b結(jié)合起來表明了小世界互信息網(wǎng)絡(luò)的形成。

圖3c顯示，模擬（藍(lán)色）和后選擇（綠色）的節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布相對平坦，進(jìn)一步表明小世界互信息網(wǎng)絡(luò)的形成。與之相對，原始（紅色）的節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度嚴(yán)重偏向于更小的值，表明網(wǎng)絡(luò)連接存在缺陷。

圖3d-g直觀描述了幾種網(wǎng)絡(luò)的互信息差異，原始數(shù)據(jù)（圖3e紅色）接近于非相干均勻隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，模擬（圖3d藍(lán)色）和后選擇（圖3f綠色）的 QCA 網(wǎng)絡(luò)都顯示出小世界結(jié)構(gòu)，且它們之間的相似性比后選擇隨機(jī)情況（圖4g黑色）更高。

圖3. 小世界互信息網(wǎng)絡(luò)行為。

在相干窗口，(a) 平均聚類系數(shù) C 作為系統(tǒng)尺寸 L 的函數(shù)；(b) 平均路徑長度 作為系統(tǒng)尺寸 L 的函數(shù)；(c) 歸一化節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布。(d–g) QCA 循環(huán) t=9，L=23 時(shí)互信息網(wǎng)絡(luò)的熱圖和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可視化。d 藍(lán)色：模擬；e 紅色：原始數(shù)據(jù)；f 綠色：后選擇數(shù)據(jù)；g 黑色：經(jīng)過后選擇的非相干均勻隨機(jī)數(shù)據(jù)。

3. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與量子信息的互動(dòng)

在很大程度上，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析已經(jīng)對量子信息產(chǎn)生了理論影響。一個(gè)例子是單向量子計(jì)算，其中復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)被不可逆地轉(zhuǎn)換。另一個(gè)例子出現(xiàn)在量子互聯(lián)網(wǎng)背景下，基于衛(wèi)星的量子通信信道最近被證明可以支持小世界的連接。

不過這項(xiàng)研究與以上例子有很大不同。單向量子計(jì)算通過投影測量設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜的圖狀態(tài)，這項(xiàng)研究表明，量子元胞自動(dòng)機(jī)以一種涌現(xiàn)的方式動(dòng)態(tài)生成它們。另一方面，量子互聯(lián)網(wǎng)考慮地理網(wǎng)絡(luò)，而本文中的關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)從幺正算符的動(dòng)力學(xué)中涌現(xiàn)，除了相互作用的局域性之外，沒有任何物理距離的概念。最后，這里的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)從一個(gè)一般可編程的門模型量子處理器上涌現(xiàn)，也就是一個(gè)帶有現(xiàn)實(shí)世界約束（如有處理器噪聲）的實(shí)驗(yàn)平臺，這在之前的理論工作中不一定存在，在性質(zhì)上與之前的實(shí)驗(yàn)工作也有所不同。

梁金 | 作者

鄧一雪 | 編輯

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