就人類整體而言，思想是不斷進(jìn)步的，后人的認(rèn)識(shí)通常會(huì)超越前人，我們對(duì)零的認(rèn)識(shí)也是如此。20 世紀(jì) 70 年代或 80 年代開始讀書的朋友必定都記得，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)課講自然數(shù)，都從 1 開始，1 是最小的自然數(shù)?，F(xiàn)在的孩子上小學(xué)，數(shù)學(xué)老師卻會(huì)告訴他們，最小的自然數(shù)是0。短短幾十年，從“零不是自然數(shù)”到“零是最小的自然數(shù)”，人們的認(rèn)識(shí)又有了一個(gè)飛躍。

零是數(shù)字，零是整數(shù)，我們受過(guò)基礎(chǔ)教育，覺(jué)得這些認(rèn)識(shí)都很自然。零居然是自然數(shù)，這個(gè)認(rèn)識(shí)就顯得不那么自然。我們平常數(shù)數(shù)，數(shù)某種事物有多少，不都是從1 開始嗎？沒(méi)見(jiàn)過(guò)從0 開始數(shù)的。如果哪位指著一堆蘋果開始數(shù)：“0、1、2、3、4……”大概會(huì)有人覺(jué)得他不正常。

1889 年，意大利數(shù)學(xué)家朱塞佩·皮亞諾（Giuseppe Peano，1858 年—1932 年） 提出五條公理，可用文字描述如下：

公理 1：1 是自然數(shù)；

公理 2：每個(gè)確定的自然數(shù) a，后面都有一個(gè)確定的相鄰數(shù) a′，a′也是自然數(shù)；

公理 3：1 不是任何自然數(shù)后面的相鄰數(shù)；

公理 4：不同自然數(shù)擁有不同的相鄰數(shù)；

公理 5：任意關(guān)于自然數(shù)的命題，如果能證明該命題對(duì) 1 為真，并且它對(duì)自然數(shù) a 為真時(shí)可證明它對(duì) a′也為真，那么這個(gè)命題就對(duì)所有自然數(shù)為真。

這五條公理稱為“皮亞諾公理”，其中第一條、第三條和第五條公理，都不假思索地認(rèn)定 1 是最小的自然數(shù)。將皮亞諾公理運(yùn)用于當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)體系，嚴(yán)絲合縫，堪稱數(shù)學(xué)大廈的一塊基石。

皮亞諾為數(shù)學(xué)大廈提供基石的同時(shí)，別的數(shù)學(xué)家也在為數(shù)學(xué)大廈添磚加瓦。19 世紀(jì)末，就在皮亞諾提出五條公理不久以后，數(shù)學(xué)的一大分支“群論”發(fā)展到關(guān)鍵時(shí)期，一些數(shù)學(xué)家用群論這把利器重新解剖整數(shù)和自然數(shù)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)非常危險(xiǎn)的破綻：如果不把零放進(jìn)自然數(shù)群，整數(shù)群就會(huì)變得不完整。所以，為了能讓數(shù)學(xué)體系互不矛盾、自成邏輯，為了保證整個(gè)數(shù)學(xué)大廈固若金湯、堅(jiān)不可摧， 這些數(shù)學(xué)家就讓零加入自然數(shù)家族，成為最小的自然數(shù)。

進(jìn)入 20 世紀(jì)，有的數(shù)學(xué)教材把零當(dāng)成自然數(shù)，有的數(shù)學(xué)教材堅(jiān)持零不是自然數(shù)，時(shí)間越往后，認(rèn)可零是自然數(shù)的教材就越多。在歐美數(shù)學(xué)界，主流意見(jiàn)都認(rèn)為零是自然數(shù)。所以在 1993 年，中國(guó)國(guó)家技術(shù)監(jiān)督局修訂“量和單位”的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定零是自然數(shù)。于是乎，我們的數(shù)學(xué)教材隨之修改。于是乎，00 后新生代在零的認(rèn)識(shí)上與國(guó)際接軌，70 后與 80 后家長(zhǎng)被甩在后面。于是乎，爸爸媽媽們輔導(dǎo)小朋友數(shù)學(xué)作業(yè)時(shí)，會(huì)有這樣的對(duì)話：

“寶貝，最小的自然數(shù)是 1，你這道題寫錯(cuò)了?！?/p>

“沒(méi)有錯(cuò)，老師今天剛講過(guò)，零也是自然數(shù)！”

家長(zhǎng)不信，一查教材，果然！大惑不解：“咦，是不是印錯(cuò)了？”而看過(guò)本書的爸爸媽媽就不會(huì)有這樣的困惑。

在本章最后，讓我們?cè)贉亓?xí)幾點(diǎn)關(guān)于零的知識(shí)。

• 最小的自然數(shù)是0 不是1；
• 最小的個(gè)位數(shù)是1 不是0；
• 0 不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，它是唯一的中性數(shù)；
• 0 是偶數(shù)；
• 0 不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；
• 任何數(shù)加減0，值不變；
• 任何數(shù)與0 相乘，積為0；
• 任何不是0 的數(shù)的0 次方都是1；
• 0 不能作除數(shù)，任何數(shù)除以0，都沒(méi)有數(shù)學(xué)意義；
• 0 是十進(jìn)制位值數(shù)中唯一的占位符，表示該數(shù)位為空；
• 0 可以表示起點(diǎn)，例如直尺的起點(diǎn)刻度線都是0；
• 0 可以用于編號(hào)，例如001、002……
• 0 可以表示界限，例如0 度以上、0 度以下……