想象一下，你是一個(gè)營(yíng)養(yǎng)學(xué)家試圖探索食物的營(yíng)養(yǎng)成分。那么什么是區(qū)分食品的最佳方式？通過(guò)維生素含量？蛋白水平？或者兩者的組合？

想知道這個(gè)問(wèn)題，你需要這個(gè)——主成分分析

以下內(nèi)容譯自Algobeans

區(qū)分識(shí)別一個(gè)整體里有什么成分，最直觀的就是可視化以及揭示集群，例如，在食品中，我們可以識(shí)別廣泛的類(lèi)別，如肉類(lèi)和蔬菜，以及子類(lèi)別，如蔬菜類(lèi)型。

但是如何找出這些成分呢？

主成分分析定義

主成分分析（PCA）是在大型數(shù)據(jù)集中找出少量基礎(chǔ)變量（被稱(chēng)為“主成本”）的技術(shù)。主要思想為降維，把多指標(biāo)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)綜合指標(biāo)。

主成分可以由一個(gè)或多個(gè)現(xiàn)有變量表示。

舉例來(lái)說(shuō)：

我們可以用單一變量「維生素C」來(lái)區(qū)分食物，因?yàn)榫S生素C只在蔬菜中但不存在于肉類(lèi)中。 但是用這樣的變量，肉類(lèi)將全部聚集在一起（因?yàn)樗腥忸?lèi)對(duì)維生素C的反應(yīng)都為0，無(wú)法分開(kāi)）（圖一最左所示）

圖一：用變量分類(lèi)

為了把肉類(lèi)的子類(lèi)也表示出來(lái)，我們可以用多個(gè)變量「維生素C－脂肪」來(lái)表示，因?yàn)椴煌娜忸?lèi)脂肪含量不同，而且蔬菜中不含有脂肪，這樣我們就把蔬菜和肉類(lèi)以及所含有的子類(lèi)也分別開(kāi)來(lái)了。（圖一中間）

如果想要得到更精細(xì)的分類(lèi)，我們可以用「維生素C＋纖維－脂肪」這樣的變量來(lái)把蔬菜的子類(lèi)更好的展開(kāi)。（圖一最右）

以上就是我們用重復(fù)的實(shí)驗(yàn)和腦子獲得主成分，但這用來(lái)應(yīng)付「天朝食物」還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。但是你還有強(qiáng)大的電腦??！

接下來(lái)就厲害了，我們可以通過(guò)主成分分析法來(lái)分析一個(gè)隨機(jī)的食物樣品。

ps：樣本來(lái)自美國(guó)農(nóng)業(yè)部數(shù)據(jù)，以100g生食物為標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試，分析四個(gè)營(yíng)養(yǎng)變量：維生素C、脂肪、纖維、蛋白質(zhì)。

數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，某些營(yíng)養(yǎng)素的存在似乎相關(guān)。脂肪和蛋白質(zhì)似乎在一同增長(zhǎng)，而纖維和維生素C一同增長(zhǎng)。

為了證實(shí)我們的假設(shè)，我們可以用相關(guān)性分析檢查營(yíng)養(yǎng)變量之間的相關(guān)性。正如所料，脂肪和蛋白質(zhì)水平（r = -0.56）之間以及纖維和維生素C水平之間存在大的正相關(guān)（r = 0.57）。

在發(fā)現(xiàn)了這樣的關(guān)系之后，我們可以把高度相關(guān)的變量看作一個(gè)變量，我們就可以把四個(gè)維度降維成兩個(gè)維度來(lái)考慮。那么對(duì)食物集做主成分分析就可得以下結(jié)果：

數(shù)字表示用于組合變量以導(dǎo)出主成分的權(quán)重。例如，為了得到特定食品的最高主成分（PC1）值，我們加上它包含的纖維和維生素C的量，稍微強(qiáng)調(diào)纖維，然后從中減去脂肪和它含有的蛋白質(zhì)，與蛋白質(zhì)抵消的程度較大。

我們觀察到，主要成分（PC1）總結(jié)了我們的目前為止的研究結(jié)果 – 它已配對(duì)脂肪與蛋白質(zhì)和纖維與維生素C.它還考慮到對(duì)之間的反向關(guān)系。因此，PC1可能用于區(qū)分肉類(lèi)和蔬菜。第二主成分（PC2）是兩個(gè)不相關(guān)的營(yíng)養(yǎng)變量 – 脂肪和維生素C的組合。它用于進(jìn)一步區(qū)分肉（使用脂肪）和蔬菜（使用維生素C）中的子類(lèi)別。

用這樣兩個(gè)變量在做食物分組的話(huà)，將得到最為詳細(xì)的分類(lèi)：

肉類(lèi)項(xiàng)目（藍(lán)色）具有低PC1值，因此集中在圖的左側(cè)，與蔬菜項(xiàng)目（橙色）相對(duì)的一側(cè)。在肉類(lèi)中，海產(chǎn)品（深藍(lán)色）具有較低的脂肪含量，因此它們具有較低的PC2值，并且位于圖的底部。幾種具有較低維生素C含量的非葉狀素食物（深橙色）也具有較低的PC2值，并出現(xiàn)在底部。

（在堅(jiān)持一會(huì) 快下課了?。?/p>

主成分分析好像很厲害的樣子，但是，是個(gè)算法就有他的局限性，

PCA就有不少局限：

最大化傳播：PCA的主要假設(shè)是，顯示數(shù)據(jù)點(diǎn)之間最大差異的維度是最有用的。但是，這可能不是真的。例如，識(shí)別技術(shù)堆中數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。為了計(jì)算數(shù)量，沿縱軸將每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)分開(kāi)，但是如果堆棧很短，PCA會(huì)錯(cuò)誤地識(shí)別水平軸為任務(wù)的有效成分，因?yàn)檫@是具有最大擴(kuò)展的維度。

解釋組件：PCA需要用具體的變量組合來(lái)表示組件，但是通常在現(xiàn)實(shí)中是很難實(shí)現(xiàn)的。

正交變量：PCA的一個(gè)主要缺點(diǎn)是其生成的主分量必須不在空間中重疊，否則稱(chēng)為正交分量。這意味著組件總是彼此以90度定位。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以使用一種稱(chēng)為獨(dú)立分量分析（ICA）的替代技術(shù)。